Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(2 - λ) (4 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia $4 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

Etapa 5.2.3

Reordene $- 6 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Fatore $λ^{2} - 6 λ + 5$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 7.4

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$λ = 1$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ verdadeiro.

$λ = 5, 1$